목차7개 항목
출처와 참고
다크 프로그래머의 「Fourier Transform(푸리에 변환)의 이해와 활용」을 바탕으로 재구성한 노트다.
푸리에 변환이란
푸리에 변환(Fourier transform) 은 임의의 신호를 여러 주파수를 가진 사인·코사인 함수의 합으로 분해하는 방법이다. 음성·통신처럼 시간에 따라 변하는 신호는 시간 영역을, 이미지는 공간 영역을 주파수 영역으로 바꾼다.
주파수 영역에서 보면 「이 신호에는 어떤 주기의 성분이 얼마나 들어 있나」가 한눈에 보인다. 잡음 제거, 압축, 패턴 탐지가 여기서 시작한다.
수식의 뜻
변환: F(u) = ∫ f(x) · e^(−i2πux) dx 각 주파수 u 성분의 계수
역변환: f(x) = ∫ F(u) · e^( i2πux) du 신호 = 주파수별 성분의 합
오일러 공식: e^(iθ) = cos θ + i sin θ- 역변환식은 「신호는 주파수별 복소지수함수의 가중합」이라는 뜻이다.
- 변환식은 그 가중치(계수)를 구한다. 계수는 신호와 각 기저함수의 내적이다.
- 사인·코사인 기저는 서로 직교하므로, 선형대수의 「직교 기저에 대한 좌표 구하기」와 같은 구조다.
이산 푸리에 변환과 FFT
디지털 신호와 이미지는 이산적이고 길이가 유한하므로 이산 푸리에 변환(DFT)을 쓴다.
| 항목 | 내용 |
|---|---|
| DFT 계산량 | 그대로 계산하면 O(n²) |
| FFT | 분할 정복으로 O(n log n)에 계산하는 알고리즘(쿨리-튜키) |
| 2차원 DFT | 행 방향 1차원 DFT 후 열 방향 1차원 DFT. 2D 변환도 1D 변환으로 구현된다 |
| 2D 해석 | W×H 이미지의 F(u, v)가 크면 x 방향 W/u 픽셀, y 방향 H/v 픽셀 주기의 성분이 강하다는 뜻 |
FFT는 큰 수의 곱셈(다항식 곱셈을 O(n log n)으로)에도 쓰인다.
스펙트럼과 위상
F(u, v)는 복소수이므로 크기와 각도로 나눠 본다.
| 구성 | 뜻 | 시각화 |
|---|---|---|
| 스펙트럼 |F| | 각 주파수 성분의 세기 | 값의 범위가 커서 로그를 취하고, 원점(저주파)이 가운데 오도록 이동(shift)해 본다 |
| 위상 Φ | 각 주기 성분이 어디서 시작하나(위치) | 눈으로 보기에는 잡음 같다 |
이미지에서 스펙트럼을 흐트러뜨려도 윤곽은 남지만, 위상을 흐트러뜨리면 이미지가 알아볼 수 없게 된다. 구조 정보는 위상에 더 많이 담긴다.
쓰임
| 쓰임 | 방법 |
|---|---|
| 주기적 잡음 제거 | 스펙트럼에서 튀는 피크(모아레 등)를 0으로 만든 뒤 역변환 |
| 저역·고역 통과 필터 | 고주파를 지우면 흐림(블러), 저주파를 지우면 윤곽 강조 |
| 빠른 합성곱 | 공간 영역의 합성곱 = 주파수 영역의 곱. 큰 커널은 FFT가 빠르다 |
| 압축 | JPEG는 푸리에 계열인 이산 코사인 변환(DCT)으로 고주파를 덜 저장한다 |
| 오디오 분석 | 짧은 구간마다 변환하는 STFT로 스펙트로그램을 만든다 |
유용한 성질
- F(0, 0)은 신호(이미지)의 평균값(평균 밝기)에 비례한다.
- 임펄스(디랙 델타)의 변환은 모든 주파수가 같은 크기인 균일 함수다.
- 가우시안의 변환은 다시 가우시안이다. 그래서 가우시안 블러는 주파수 영역에서도 부드러운 저역 통과 필터다.
정리
- 푸리에 변환은 신호를 주파수 성분의 합으로 다시 쓰는 좌표 변환이다.
- 디지털 신호는 DFT, 계산은 FFT로 O(n log n).
- 스펙트럼은 세기, 위상은 위치를 담는다.
- 필터링·합성곱·압축은 주파수 영역에서 하면 단순해진다.