벡터공간과 부분공간

벡터공간이란

벡터공간(vector space)은 화살표나 좌표 묶음이 아니라 두 연산이 정해진 규칙을 지키는 집합이다. 체(field) F 위의 벡터공간 V는 공집합이 아닌 집합으로, 다음 두 연산이 정의되어 있다.

연산	정의
벡터 덧셈	V의 두 원소 x, y에 V의 원소 x + y 하나를 대응
스칼라 곱	F의 원소 a와 V의 원소 x에 V의 원소 ax 하나를 대응

체(field) 는 덧셈·뺄셈·곱셈·(0이 아닌 수로) 나눗셈이 자유로운 수 체계다. 실수 ℝ, 복소수 ℂ, 유리수 ℚ가 체이고, 정수 ℤ는 나눗셈이 닫혀 있지 않아 체가 아니다. 체의 원소를 스칼라라 부른다. 벡터공간 안에는 벡터만 있으므로, 스칼라 곱의 다른 피연산자를 가져올 곳으로 체를 함께 정의한다. 이렇게 정한 공간을 "F-벡터공간 V"라고 쓴다.

공리 8가지

모든 x, y, z ∈ V와 a, b ∈ F에 대해

번호	성질	식
VS1	덧셈의 교환법칙	x + y = y + x
VS2	덧셈의 결합법칙	(x + y) + z = x + (y + z)
VS3	덧셈의 항등원	모든 x에 대해 x + 0 = x인 하나의 0 ∈ V가 있다
VS4	덧셈의 역원	각 x마다 x + y = 0인 y ∈ V가 있다
VS5	스칼라 곱의 항등원	1x = x
VS6	스칼라 곱의 결합법칙	(ab)x = a(bx)
VS7	벡터에 대한 분배법칙	a(x + y) = ax + ay
VS8	스칼라에 대한 분배법칙	(a + b)x = ax + bx

VS3과 VS4의 차이에 주의한다. VS3은 모든 벡터에 공통인 영벡터 하나가 존재한다는 뜻이고, VS4는 벡터마다 자기 역원이 존재한다는 뜻이다.

"S가 벡터공간임을 보여라"는 두 연산이 S 안에서 닫혀 있고 8가지 공리를 모두 만족함을 확인하라는 뜻이다. "벡터공간이 아님을 보여라"는 성립하지 않는 공리 하나만 찾으면 된다.

공리에서 바로 나오는 성질

정리	내용	근거
소거법칙	x + z = y + z이면 x = y	양변에 z의 역원을 더하고 VS2, VS4, VS3
영벡터의 유일성	VS3의 0은 하나뿐이다	0과 0′ 모두 항등원이면 x + 0 = x + 0′ → 소거법칙
역원의 유일성	각 x의 역원은 하나뿐이다 → −x로 쓴다	x + y = x + y′ = 0 → 소거법칙
스칼라 0	0x = 0 (좌변 0은 스칼라, 우변은 영벡터)	0x = (0 + 0)x = 0x + 0x에 소거법칙
부호	(−a)x = −(ax) = a(−x)	역원의 유일성
영벡터 곱	a0 = 0	a0 = a(0 + 0) = a0 + a0

당연해 보이는 성질도 공리만으로 증명해야 한다. 그래야 실수 좌표가 아닌 다항식·함수·행렬로 이루어진 공간에서도 똑같이 쓸 수 있다.

부분공간

V의 부분집합 W가 V와 같은 연산으로 그 자체로 벡터공간이 되면 W를 V의 부분공간(subspace)이라 한다. 모든 V에서 V 자신과 {0}은 부분공간이다. 공집합은 영벡터가 없어(VS3 위반) 부분공간이 아니다.

8가지 공리를 다시 확인할 필요는 없다. 연산이 V에서 물려받은 것이라 교환·결합·분배법칙은 저절로 성립하기 때문이다. 세 가지만 확인하면 된다.

W가 V의 부분공간  ⇔  ① 0 ∈ W
                     ② x, y ∈ W 이면 x + y ∈ W   (덧셈에 닫힘)
                     ③ x ∈ W, a ∈ F 이면 ax ∈ W  (스칼라 곱에 닫힘)

①은 W가 비어 있지 않음을 보장하고, W의 영벡터가 V의 영벡터와 같다는 뜻이다. 역원은 ③에서 a = −1로 두면 따라 나온다.

교집합, 합공간, 직합

교집합: 부분공간들의 교집합은 언제나 부분공간이다. 영벡터를 모두 포함하고, 각 부분공간에서 닫혀 있으면 교집합에서도 닫혀 있다.
합집합은 일반적으로 부분공간이 아니다. ℝ²에서 x축과 y축의 합집합(+ 모양)은 (1, 0) + (0, 1) = (1, 1)을 담지 못한다. 한쪽이 다른 쪽에 포함될 때만 예외다.
합공간: 두 부분공간을 모두 담는 가장 작은 부분공간은 합 W₁ + W₂ = {x + y | x ∈ W₁, y ∈ W₂}다. 위의 세 조건을 만족해 부분공간이 된다.
직합(direct sum): V = W₁ + W₂이고 W₁ ∩ W₂ = {0}이면 V = W₁ ⊕ W₂로 쓴다. 이는 V의 모든 벡터를 x + y (x ∈ W₁, y ∈ W₂)로 쓰는 방법이 유일하다는 것과 동치다.

두 부분공간을 담는 부분공간 U 중
  가장 큰 공통 부분:  W₁ ∩ W₂   (둘 다에 포함되는 최대 부분공간)
  가장 작은 포함체:   W₁ + W₂   (둘 다를 포함하는 최소 부분공간)

일차결합과 생성공간

일차결합(linear combination): 유한개의 벡터 u₁, …, uₙ과 스칼라 a₁, …, aₙ으로 만든 a₁u₁ + … + aₙuₙ.
생성공간(span): 집합 S의 벡터로 만들 수 있는 모든 일차결합의 집합 span(S). 편의상 span(∅) = {0}으로 정한다.
span(S)는 S를 포함하는 가장 작은 부분공간이다. 일차결합끼리 더하거나 상수배해도 일차결합이므로 부분공간이고, S를 포함하는 부분공간은 덧셈·스칼라 곱에 닫혀 있어 S의 모든 일차결합을 반드시 담기 때문이다.
span(S) = V이면 S가 V를 생성(generate) 한다고 하고, S를 생성집합이라 부른다. 예: ℝ³에서 {(1,0,0), (0,1,0)}의 생성공간은 xy 평면이다.

같은 공간을 생성하는 집합은 여러 개다. 불필요한 벡터를 덜어낸 가장 작은 생성집합이 기저(basis) 이고, 그 원소 수가 차원(dimension) 이다. 이는 일차독립·종속 개념으로 이어진다.

정리

벡터공간은 덧셈과 스칼라 곱이 8가지 공리를 지키는 집합이다. 스칼라는 체에서 온다.
영벡터와 역원의 유일성, 0x = 0 같은 성질은 소거법칙에서 나온다.
부분공간 판정은 영벡터 포함 + 덧셈·스칼라 곱에 닫힘, 세 가지면 충분하다.
교집합과 합공간은 부분공간이지만 합집합은 아니다. 교집합이 {0}인 합은 직합이다.
span(S)는 S를 포함하는 최소 부분공간이다.

관련 노트: 벡터 내적·외적과 거리, 선형 점화식의 일반항

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